トマト充填問題(1)

スーパーで並ぶ箱詰めトマト。同じ箱に詰まっている。小さいがたくさん入ったもの、大きいが数が少ないもの、どちらがオトクなのだろうか。

ケプラー予想が証明された今、充填問題としては簡単に思えるが、この問題に対する明確な解は、web上で見つけられなかった。

そもそもトマトが球と仮定していいのか、まずは形と重さの関係から探ろうと思う。

画像処理でトマトの占有面積から重量を推定する論文はあるようだ。カメラを起動するスマホアプリを作成して店頭で測定すればいいかもしれないが、箱に詰まったトマトの数からオトクかどうか知りたいという元々の目的には合致しない気がする。

というわけでトマトを買ってきて、重さ、高さ、長径、短径を測定してみた。長径短径は平均して直径としてみる。

直観には反して、トマトの径と高さには相関がなさそうだ。高さは一定と仮定してもいいかもしれない。平均56mmだ。

楕円球の体積は3/4*πabcなので、長径・短径・高さから推定した重さが横軸、実際の重さが縦軸。トマトの三次元形状は楕円球仮定とは少しずれているが、相関が高いので補正してやればよさそうだ。