トマト充填問題(3)

 今回4個入りを購入したが、重さとしては前回の5個/7個入りより軽い。前回は箱にみっちり詰まっていたが、今回は結構な隙間がある。隙間をある程度考慮して最もオトクな選択をする必要がありそうだ。

この例では、横1cm、縦3cm、平均2cmほどの隙間があるとして、15x15cmの箱への充填とすると、W=75,H=65,楕円球近似で165g、トマト形状補正後で204g、4個＋箱101gの計915gとなる。実測が914gなのでよく一致する。

このように、トマトと箱の隙間を考慮して今まで購入・測定した4点を、実測横軸、隙間＋個数からの予測を縦軸にプロットすると割と一致した。

スーパーの店頭で隙間を目分量するくらいは容易なので、隙間＋個数からオトクなものを見つければよい。

実用的な4～9個トマトに、みっちり、隙間1cm、隙間2cmの3種類のプロットを重ねてみた。これにより簡単に比較できる。

4個入りで隙間2cmの場合と、6個入りで隙間1cmがあったとする。それぞれをプロット上で探し、重さを比較する。この例だと予測は915g vs. 854g、実際には914g vs. 878gであった。傾向としてはつかめるのではないだろうか。

トマト充填問題(2)

 トマトを二次元的に箱に詰める問題は、Circle Packing in squareという問題に一般化できそうだ。理論はともかく、結果だけ使わせていただく。

スーパーで売っている箱は16x18cmだが、面倒なのでここでは17x17cmの正方形と仮定する。

まず、箱に詰める個数nを決める。→Circle Packing in squareから最大の充填半径を見る→楕円球仮定で重さを計算→前回の補正(1.32x-14)を使ってトマト形状での重さに変換。

これを見ると、4, 9が特異的にオトクなのがわかる。8も悪くない。配置から考えると16もよいはずだが、ここまでくると全体の個数が多いからかそこまででもない。

実際には、9個配置(3x3)で直径56mm。高さは56mm平均なので、これ以上小さい場合はトマト形状モデル範囲外となる

実際に購入してみた。箱いっぱいに詰められた5個と7個。7個の方がトマトの隙間が少なく見え、量があるように見えるが、実測してみると5個の方がオトクだ。上記のグラフの予想でも5個入りの方が30gほどオトク。同程度オトクなのが確認できた。

つまり、箱に密に詰まっている場合、4 → 9 →8 →5...の順に選べばよいことになる。店頭でも選択は容易だ。

トマト充填問題(1)

スーパーで並ぶ箱詰めトマト。同じ箱に詰まっている。小さいがたくさん入ったもの、大きいが数が少ないもの、どちらがオトクなのだろうか。

ケプラー予想が証明された今、充填問題としては簡単に思えるが、この問題に対する明確な解は、web上で見つけられなかった。

そもそもトマトが球と仮定していいのか、まずは形と重さの関係から探ろうと思う。

画像処理でトマトの占有面積から重量を推定する論文はあるようだ。カメラを起動するスマホアプリを作成して店頭で測定すればいいかもしれないが、箱に詰まったトマトの数からオトクかどうか知りたいという元々の目的には合致しない気がする。

というわけでトマトを買ってきて、重さ、高さ、長径、短径を測定してみた。長径短径は平均して直径としてみる。

直観には反して、トマトの径と高さには相関がなさそうだ。高さは一定と仮定してもいいかもしれない。平均56mmだ。

楕円球の体積は3/4*πabcなので、長径・短径・高さから推定した重さが横軸、実際の重さが縦軸。トマトの三次元形状は楕円球仮定とは少しずれているが、相関が高いので補正してやればよさそうだ。